NCERT Solutions For Class 9 Math Chapter – 2 Exercise – 2.4

Posted onAuthorDev Bhardwaj

NCERT Solutions For Class 9 Math Chapter – 2 Exercise – 2.4

 

Q1.  Determine which of the following polynomials has (x+1) a factor:

  • X3+ x2 + x + 1

Solution:-

 

P(-1) = (-1)3 + (1)2 + (-1) + 1

= -1 + 1 – 1 + 1

= 0

 

  • X4+ x3 + x2 + x + 1

Solution:-

 

P(-1) = (-1)4 + (-1)3 + (-1)2 + (-1) + 1

P (-1) = 1

 

  • X4+ 3x3 + 3x2 + x + 1

Solution:-

 

P(-1) = (1-)4 + 3(-1)3 + 3(-1)2 + (-1) + 1

=  1

 

  • X3– x2 – (2+√2)x + √2

Solution:-

 

P(-1) = (-1)3 – (-1)2 – (2+√2)(-1) + √2 = -1 -1 + 2 + √2 + √2

= 2√2

 

Q2. Use the factor theorem to determine whether g(x) is a factor of p(x) in each of the following cases:

  • P(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 , g(x) = x+ 1

Solution:-

 

P(x) 2x3 + x2 – 2x – 1  g(x) = x +1

G(x) = 0

X + 1 = 0

X = -1

P(-1) 2(-1)3 + (-1)2 – 2(-1) -1

= -2 + 1 + 2 – 1

= 0

 

  • P(x) = x3+ 3x2 + 3x + 1 , g(x) = x+ 2

Solution:-

 

G(x) = x + 2 = 0

X = -2

 

P(-2) = (-2)3 + 3(-2) + 1

= -8 + 12 – 6 + 1

= -1

 

  • p(x) = x3– 4x2 + x + 6 g(x) = x – 3

Solution:-

P(x) = x3 – 4x2 + x + 6

G(x) = 0

X – 3 = 0

X =  3

P(3) = (3)2 – 4(3)2 + (3) + 6

= 27 – 36 + 3 + 6

= 0

 

 

Q3. Find the value of k , if x – 1 is a factor of p(x) in each of the following cases:

 

  • P(x) = x2+ x + k

Solution:-

 

X – 1 = 0

X = 1

By factor theorem

(1)2 + (1) + k = 0

1 + 1+ k = 0

2 + k = 0

K = -2

 

  • p(x) = 2x2+ kx + √2

Solution:-

 

X – 1 = 0

X = 1

 

2(1)2 + k(1) + √2 = 0

2 + k + √2 = 0

K = -(2 + √2)

 

  • P(x) = kx2– √2x + 1

Solution:-

 

K(1)2 – √2(1) + 1 = 0

K = √2 – 1

 

  • P(x) = kx2– 3x + k

Solution:-

 

K(1)2 – 3(1) + k = 0

K – 3 + k = 0

2k – 3 = 0

K= 3/2

 

Q4. Factorize:

  • 12x2– 7x + 1

Solution:-

 

12x2 – 7x +  1 = 12x2 – 4x – 3x +  1

4x(3x-1) -1 (3x-1)

(4x-1) (3x-1)

 

  • 2x2+ 7x + 3

Solution:-

 

2x2 + 7x + 3

2x2 + 6x + 1x + 3

2x(x+3) + 1(x+3)

(2x+1)(x+3)

 

  • 6x2+ 5x – 6

Solution:-

 

6x2 + 5x – 6

6x2 + 9x – 4x – 6

= 3x(2x+3) -2(2x+3)

= (2x+3)(3x-2)

 

  • 3x2– x- 4

Solution:-

 

3x2 – x – 4

3x2 – 4x + 3x – 4

X(3x-4) +1 (3x – 4)

(3x-4)(x+1)

 

Q5. Factorize:

  • X3+ 2x2 – x+ 2

Solution:-

 

P(x) = x3 – 2x2 – x + 2

P(-1) = (-1)3 -2(-1)2 – (-1) + 2

= 0Ncert solutions class 9 chapter 2-1

 

 

 

 

 

Now , Dividend = Divisor x Quotient + Remainder

(x+1)(x2 – 3x + 2) = (x+1)(x2 – x – 2x + 2)

= (x+1)(x(x-1)-2(x-1))

= (x+1) (x-1) (x-2)

 

  • X3– 3x2 – 9x – 5

Solution:-

 

P(x) = x3 – 3x2 – 9x – 5

P(5) = 0

So , (x-5) is factor of p(x)

Now ,

P(x) = x3 – 3x2 – 9x – 5

P(5) = (5)3 – 3(5)2 – 9(5) – 5

= 125 – 75 – 45 – 5

= 0

Therefore , (x-5) is the factor of p(x)

 

Ncert solutions class 9 chapter 2-2

 

 

 

 

 

 

 

 

(x-5)(x2 + 2x + 1) = (x-5)(x2 + x + x + 1)

= (x-5)(x(x+1)+1(x+1))

= (x-5)(x+1)(x+1)

 

  • x3+ 13x2 + 32x + 20

Solution:-

 

P(x) = x3 + 13x2 + 32x  + 20

P(-1) = (-1)3 + 13(-1)2 + 32(-1) + 20

= -1 + 13 – 32 + 20

= 0

Therefore , (x+1) is the factor pf p(x)

 

Ncert solutions class 9 chapter 2-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x+1)(x2 + 12x + 20) = (x+1)(x2 + 2x 10x + 20)

(x-5)x(x+2)+10(x+2)

(x-5)(x+2)(x+10)

 

 

  • 2y3+ y2 – 2y – 1

Solution:-

 

P(y) = 2y3 + y2 – 2y – 1

P(1) = 2(1)3 + (1)2 – 2(1) – 1

= 2 + 1 – 1

= 0

Therefore (y-1) is the factor of p(y)

 

Ncert solutions class 9 chapter 2-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(y-1)(2y2 + 3y + 1) = (y-1)(2y2 + 2y + y + 1)

= (y-1)(2y(y+1)+1(y+1))

= (y-1)(2y+1)(y+1)